Упр.38.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$-6+\frac{2}{3}-\frac{2}{27}+\frac{2}{243}-\ldots$$; б) $$3+\sqrt{3}+1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots$$; в) $$49-14+4-\frac{8}{7}+\ldots$$; г) $$4+2\sqrt{2}+2+\sqrt{2}+\ldots$$

Во всех пунктах дана бесконечная геометрическая прогрессия, поэтому используем формулу суммы:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

1. $$S=-6+\frac23-\frac{2}{27}+\frac{2}{243}-\dots$$

   $$b_1=-6,\quad q=\frac{\frac23}{-6}=-\frac19.$$

   $$S=\frac{-6}{1-(-\frac19)}=\frac{-6}{1+\frac19}=\frac{-6}{\frac{10}{9}}=-\frac{54}{10}=-5{,}4.$$

2. $$S=3+\sqrt3+1+\frac1{\sqrt3}+\dots$$

   $$b_1=3,\quad q=\frac{\sqrt3}{3}.$$

   $$S=\frac{3}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3}{\frac{3-\sqrt3}{3}}=\frac{9}{3-\sqrt3}.$$

3. $$S=49-14+4-\frac87+\dots$$

   $$b_1=49,\quad q=\frac{-14}{49}=-\frac27.$$

   $$S=\frac{49}{1-(-\frac27)}=\frac{49}{1+\frac27}=\frac{49}{\frac97}=\frac{343}{9}=38\frac19.$$

4. $$S=4+2\sqrt2+2+\sqrt2+\dots$$

   $$b_1=4,\quad q=\frac{2\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   $$S=\frac{4}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{4}{\frac{2-\sqrt2}{2}}=\frac{8}{2-\sqrt2}.$$

Ответ: а) $$-5{,}4$$; б) $$\frac{9}{3-\sqrt3}$$; в) $$38\frac19$$; г) $$\frac{8}{2-\sqrt2}$$.