Упр.38.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots$$; б) $$49+7+1+\frac{1}{49}+\ldots$$; в) $$\frac{3}{2}-1+\frac{2}{3}-\frac{4}{9}+\ldots$$; г) $$125+25+5+1+\ldots$$.

Во всех пунктах дан бесконечный ряд геометрической прогрессии, поэтому используем формулу суммы:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

1. $$2+1+\frac12+\frac14+\dots$$

   Здесь $$b_1=2,\quad q=\frac12.$$ Тогда

   $$S=\frac{2}{1-\frac12}=\frac{2}{\frac12}=4.$$

2. $$49+7+1+\frac17+\dots$$

   Здесь $$b_1=49,\quad q=\frac17.$$ Тогда

   $$S=\frac{49}{1-\frac17}=\frac{49}{\frac67}=49\cdot\frac76=\frac{343}{6}=57\frac16.$$

3. $$\frac32-1+\frac23-\frac49+\dots$$

   Здесь $$b_1=\frac32,\quad q=-\frac23.$$ Тогда

   $$S=\frac{\frac32}{1-(-\frac23)}=\frac{\frac32}{1+\frac23}=\frac{\frac32}{\frac53}=\frac32\cdot\frac35=\frac9{10}=0{,}9.$$

4. $$125+25+5+1+\dots$$

   Здесь $$b_1=125,\quad q=\frac15.$$ Тогда

   $$S=\frac{125}{1-\frac15}=\frac{125}{\frac45}=125\cdot\frac54=\frac{625}{4}=156{,}25.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$57\frac16$$; в) $$0{,}9$$; г) $$156{,}25$$.