Упр.38.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна $$18$$, а сумма квадратов ее членов равна $$162$$.
б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна $$2$$, а сумма кубов ее членов равна $$\frac{8}{7}$$.
Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.
а)
Используем формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=18,$$
$$S(n^2)=\frac{b_1^2}{1-q^2}=162.$$
Из первого равенства:
$$b_1=18(1-q).$$
Подставим во второе:
$$\frac{(18(1-q))^2}{1-q^2}=162.$$
Упростим:
$$324(1-2q+q^2)=162(1-q^2),$$
$$324-648q+324q^2=162-162q^2,$$
$$486q^2-648q+162=0,$$
$$3q^2-4q+1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=16-12=4,$$
$$q_{1,2}=\frac{4\pm2}{6}.$$
Получаем:
$$q_1=1,\quad q_2=\frac13.$$
Значение $$q=1$$ не подходит, так как сумма бесконечной прогрессии не существует. Значит,
$$q=\frac13.$$
Тогда
$$b_1=18\left(1-\frac13\right)=12.$$
б)
Теперь:
$$S=2,\qquad S(n^3)=\frac87.$$
Из формулы суммы:
$$\frac{b_1}{1-q}=2,$$
откуда
$$b_1=2(1-q).$$
По условию для суммы кубов:
$$\frac{b_1^3}{1-q^3}=\frac87.$$
Подставим $$b_1=2(1-q)$$:
$$\frac{8(1-q)^3}{1-q^3}=\frac87.$$
Сократим на $$8$$:
$$\frac{(1-q)^3}{1-q^3}=\frac17.$$
Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2),$$ получаем
$$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}=\frac17.$$
Тогда
$$7(1-2q+q^2)=1+q+q^2,$$
$$6q^2-15q+6=0,$$
$$2q^2-5q+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$q_{1,2}=\frac{5\pm3}{4}.$$
Получаем:
$$q_1=2,\quad q_2=\frac12.$$
Значение $$q=2$$ не подходит, так как тогда сумма бесконечной прогрессии не существует. Значит,
$$q=\frac12.$$
Тогда
$$b_1=2\left(1-\frac12\right)=1.$$
Найдём сумму квадратов членов прогрессии:
$$S(n^2)=\frac{b_1^2}{1-q^2}=\frac{1}{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{1}{1-\frac14}=\frac{1}{\frac34}=\frac43.$$
Ответ: а) $$b_1=12,\ q=\frac13$$; б) $$S(n^2)=\frac43.$$
