Упр.38.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна $$24$$, а сумма первых трёх членов равна $$21$$.
   б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что её сумма равна $$31{,}25$$, а сумма первых трёх членов равна $$31$$.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

а)

Имеем:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=24,$$

откуда

$$b_1=24(1-q).$$

Сумма первых трёх членов:

$$S_3=b_1+b_1q+b_1q^2=21,$$

то есть

$$b_1(1+q+q^2)=21.$$

Подставим $$b_1=24(1-q)$$:

$$24(1-q)(1+q+q^2)=21.$$

Так как $$(1-q)(1+q+q^2)=1-q^3$$, получаем

$$24(1-q^3)=21,$$

$$24-24q^3=21,$$

$$24q^3=3,$$

$$q^3=\frac{1}{8}, \qquad q=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$b_1=24\left(1-\frac{1}{2}\right)=12.$$

б)

Аналогично:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=31{,}25,$$

значит

$$b_1=31{,}25(1-q).$$

И

$$S_3=b_1+b_1q+b_1q^2=31,$$

то есть

$$b_1(1+q+q^2)=31.$$

Подставим $$b_1=31{,}25(1-q)$$:

$$31{,}25(1-q)(1+q+q^2)=31.$$

Следовательно,

$$31{,}25(1-q^3)=31,$$

$$31{,}25-31{,}25q^3=31,$$

$$31{,}25q^3=0{,}25,$$

$$q^3=\frac{0{,}25}{31{,}25}=\frac{1}{125}, \qquad q=\frac{1}{5}.$$

Найдём первый член:

$$b_1=31{,}25\left(1-\frac{1}{5}\right)=25.$$

Седьмой член прогрессии:

$$b_7=b_1q^6=25\left(\frac{1}{5}\right)^6=\frac{1}{625}.$$

Ответ

а) $$b_1=12,\ q=\frac{1}{2}.$$
б) $$b_7=\frac{1}{625}.$$