Упр.38.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\dots+\sin^n x+\dots=5$$;
2. $$\cos x-\cos^2 x+\cos^3 x-\dots+(-1)^{n-1}\cos^n x+\dots=2$$;
3. $$1+\sin^2 x+\sin^4 x+\dots+(\sin x)^{2n-2}+\dots$$;
4. $$7\cos^3 x+7\cos^6 x+\dots+7(\cos x)^{3n}+\dots=1$$.

а) Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\sin x$$ и знаменателем $$q=\sin x.$$ Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sin x}{1-\sin x}=5.$$

Отсюда

$$\sin x=5(1-\sin x),$$

$$6\sin x=5,$$

$$\sin x=\frac56.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\arcsin\frac56+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\cos x$$ и знаменателем $$q=-\cos x.$$ Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos x}{1+\cos x}=2.$$

Отсюда

$$\cos x=2(1+\cos x),$$

$$\cos x=-2.$$

Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ то корней нет.

в) Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=\sin^2 x.$$ Тогда

$$S=\frac{1}{1-\sin^2 x}=\frac43.$$

Так как $$1-\sin^2 x=\cos^2 x,$$ получаем

$$\frac{1}{\cos^2 x}=\frac43,$$

$$\cos^2 x=\frac34,$$

$$\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значит,

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=7\cos^3 x$$ и знаменателем $$q=\cos^3 x.$$ Тогда

$$S=\frac{7\cos^3 x}{1-\cos^3 x}=1.$$

Отсюда

$$7\cos^3 x=1-\cos^3 x,$$

$$8\cos^3 x=1,$$

$$\cos^3 x=\frac18,$$

$$\cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\arcsin\frac56+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) корней нет;
в) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$