Упр.38.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и четвертого — 11,6.
б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5?
Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.
а)
Имеем:
$$b_1+b_3=29,\qquad b_2+b_4=11{,}6.$$
Выразим члены прогрессии через $$b_1$$ и $$q$$:
$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2,\qquad b_4=b_1q^3.$$
Тогда
$$b_1+b_1q^2=29,$$
$$b_1(1+q^2)=29,$$
$$b_1=\frac{29}{1+q^2}.$$
Из второго условия:
$$b_1q+b_1q^3=11{,}6,$$
$$b_1q(1+q^2)=11{,}6.$$
Подставим $$b_1=\frac{29}{1+q^2}$$:
$$29q=11{,}6,$$
$$q=\frac{11{,}6}{29}=0{,}4.$$
Теперь найдём первый член:
$$b_1=\frac{29}{1+0{,}4^2}=\frac{29}{1{,}16}=25.$$
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{25}{1-0{,}4}=\frac{25}{0{,}6}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}.$$
б)
Пусть сумма прогрессии равна $$S=4{,}5$$. Тогда
$$\frac{b_1}{1-q}=4{,}5,$$
откуда
$$b_1=4{,}5(1-q).$$
По условию
$$b_5=\frac{(b_3)^3}{4}.$$
Так как $$b_3=b_1q^2$$ и $$b_5=b_1q^4$$, получаем:
$$b_1q^4=\frac{(b_1q^2)^3}{4}=\frac{b_1^3q^6}{4}.$$
Если $$b_1\neq 0$$, то
$$4=b_1^2q^2,$$
$$b_1=\pm \frac{2}{q}.$$
Рассмотрим случай $$b_1=\frac{2}{q}$$:
$$\frac{2}{q}=4{,}5(1-q),$$
$$2=4{,}5q-4{,}5q^2,$$
$$9q^2-9q+4=0.$$
Дискриминант:
$$D=9^2-4\cdot 9\cdot 4=81-144=-63<0,$$
значит, решений нет.
Рассмотрим случай $$b_1=-\frac{2}{q}$$:
$$-\frac{2}{q}=4{,}5(1-q),$$
$$-2=4{,}5q-4{,}5q^2,$$
$$9q^2-9q-4=0.$$
Тогда
$$D=9^2+4\cdot 9\cdot 4=81+144=225,$$
$$q_{1,2}=\frac{9\pm 15}{18}.$$
Получаем
$$q_1=-\frac{1}{3},\qquad q_2=\frac{4}{3}.$$
Так как для суммы бесконечной геометрической прогрессии нужно $$|q|<1$$, берём $$q=-\frac{1}{3}$$.
Тогда
$$b_1=4{,}5\left(1+\frac{1}{3}\right)=4{,}5\cdot \frac{4}{3}=6.$$
Искомый пятый член:
$$b_5=b_1q^4=6\left(-\frac{1}{3}\right)^4=6\cdot \frac{1}{81}=\frac{2}{27}.$$
Ответ: а) $$41\frac{2}{3}$$; б) $$\frac{2}{27}$$.
