Упр.38.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\lim\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}\right)$$;
   б) $$\lim\left(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\dots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)$$.

а) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\right)$$

Представим каждый член суммы в виде разности:

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.$$

Тогда

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} = \left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right).$$

После сокращения получаем:

$$1-\frac{1}{n+1}.$$

Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1-0=1.$$

б) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)$$

Преобразуем общий член:

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).$$

Тогда сумма имеет вид

$$\frac12\left(\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right).$$

После сокращения:

$$\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right).$$

Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac12(1-0)=\frac12.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$\frac12$$.