Упр.38 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение методом введения новой переменной:
- а) $$\frac{3}{x^2-2x-2}-x^2+2x=0$$;
- б) $$\frac{x}{x^2-2}+\frac{6(x^2-2)}{x}=7$$;
- в) $$1-\frac{15}{(x^2-4x)^2}=\frac{2}{x^2-4x}$$;
- г) $$\frac{x-3}{x^2+10x+27}=\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-2$$.
а) Пусть $$y=x^2-2x.$$ Тогда уравнение примет вид
$$\frac{3}{y-2}-y=0.$$
Умножим на $$y-2$$:
$$3-y(y-2)=0,$$
$$y^2-2y-3=0.$$
$$D=4+12=16,$$
$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{2+4}{2}=3.$$
1) Если $$x^2-2x=-1,$$ то
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$
2) Если $$x^2-2x=3,$$ то
$$x^2-2x-3=0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0,$$
$$x=3 \text{ или } x=-1.$$
Итак, $$x=-1,\;1,\;3.$$
б) Пусть $$y=\frac{x}{x^2-2}.$$ Тогда
$$y+\frac{6}{y}=7.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-7y+6=0.$$
$$D=49-24=25,$$
$$y_1=\frac{7-5}{2}=1,\qquad y_2=\frac{7+5}{2}=6.$$
1) Если $$\frac{x}{x^2-2}=1,$$ то
$$x=x^2-2,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0,$$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
2) Если $$\frac{x}{x^2-2}=6,$$ то
$$x=6(x^2-2),$$
$$6x^2-x-12=0.$$
$$D=1+288=289,$$
$$x=\frac{1\pm17}{12}.$$
Отсюда
$$x=-\frac{4}{3},\qquad x=\frac{3}{2}.$$
Итак, $$x=-\frac{4}{3},\;-1,\;\frac{3}{2},\;2.$$
в) Пусть $$y=x^2-4x.$$ Тогда
$$1-\frac{15}{y^2}=\frac{2}{y}.$$
Умножим на $$y^2$$:
$$y^2-15=2y,$$
$$y^2-2y-15=0.$$
$$D=4+60=64,$$
$$y_1=\frac{2-8}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{2+8}{2}=5.$$
1) Если $$x^2-4x=-3,$$ то
$$x^2-4x+3=0,$$
$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=3.$$
2) Если $$x^2-4x=5,$$ то
$$x^2-4x-5=0,$$
$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)=0,$$
$$x=5 \text{ или } x=-1.$$
Итак, $$x=-1,\;1,\;3,\;5.$$
г) Пусть
$$y=\frac{x^2+10x+27}{x-3}.$$
Тогда уравнение имеет вид
$$\frac{1}{y}+y=-2.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+1=-2y,$$
$$y^2+2y+1=0,$$
$$\left(y+1\right)^2=0,$$
$$y=-1.$$
Тогда
$$\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-1,$$
$$x^2+10x+27=-(x-3),$$
$$x^2+11x+24=0.$$
$$D=121-96=25,$$
$$x=\frac{-11\pm5}{2}.$$
Отсюда
$$x=-8,\qquad x=-3.$$
Итак, $$x=-8,\;-3.$$
Ответ: а) $$-1,\;1,\;3$$; б) $$-\frac{4}{3},\;-1,\;\frac{3}{2},\;2$$; в) $$-1,\;1,\;3,\;5$$; г) $$-8,\;-3$$.
