Упр.38.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}$$;

б) $$x_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n+1)^2}$$;

в) $$x_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}$$;

г) $$x_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}$$.

Найдём пределы последовательностей, предварительно выделив старшие степени $$n$$.

1. $$x_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}=\frac{2n^2-5n-3}{n^2}=\frac{2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}{1}$$
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=2.$$
2. $$x_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n+1)^2}=\frac{12n^2+n-1}{n^2+2n+1}$$
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{12+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=12.$$
3. $$x_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}=\frac{6n^2+5n-6}{n^2}=\frac{6+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}}{1}$$
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=6.$$
4. $$x_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}=\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4}$$
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}-2}{1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}=-2.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$12$$; в) $$6$$; г) $$-2$$.