Упр.38.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел: а) $$x_n=\frac{3n^2+2}{n^2}$$; б) $$x_n=\frac{n^2-5}{n^2+5}$$.

а) $$x_n=\frac{3n^2+2}{n^2}=3+\frac{2}{n^2}.$$

Так как $$\frac{2}{n^2}>0$$ и при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{2}{n^2}$$ убывает, то последовательность $$x_n$$ убывает. Кроме того, $$x_n>3$$, значит, она ограничена снизу. Следовательно, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности она имеет предел.

Найдём его:

$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\left(3+\frac{2}{n^2}\right)=3+0=3.$$

б) $$x_n=\frac{n^2-5}{n^2+5}=1-\frac{10}{n^2+5}.$$

Так как $$\frac{10}{n^2+5}>0$$ и при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{10}{n^2+5}$$ убывает, то последовательность $$x_n$$ возрастает. При этом $$x_n<1$$, значит, она ограничена сверху. Следовательно, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности она имеет предел.

Найдём его:

$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{10}{n^2+5}\right)=1-0=1.$$

Ответ

а) $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=3$$; б) $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$$.