Упр.37.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности $$(y_n)$$:
а) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{2}-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}(2n+1);$$
б) $$y_n=\cos\frac{n\pi}{2}+\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}(2n+1);$$
в) $$y_n=n\sin\frac{n\pi}{2}+n^2\cos\frac{n\pi}{2};$$
г) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{4}-n\cos\frac{n\pi}{4}.$$

Подробный ответ

а) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{2}-\ctg\frac{\pi}{4}(2n+1).$$

Так как $$\ctg\frac{\pi}{4}=1,$$ получаем:

$$y_n=\sin\frac{n\pi}{2}-(2n+1).$$

Вычислим первые пять членов:

$$\begin{aligned} y_1&=\sin\frac{\pi}{2}-\ctg\frac{3\pi}{4}=1-(-1)=2,\\ y_2&=\sin\pi-\ctg\frac{5\pi}{4}=0-1=-1,\\ y_3&=\sin\frac{3\pi}{2}-\ctg\frac{7\pi}{4}=-1-(-1)=0,\\ y_4&=\sin2\pi-\ctg\frac{9\pi}{4}=0-1=-1,\\ y_5&=\sin\frac{5\pi}{2}-\ctg\frac{11\pi}{4}=1-(-1)=2. \end{aligned}$$

б) $$y_n=\cos\frac{n\pi}{2}+\tg\frac{\pi}{4}(2n+1).$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ имеем:

$$y_n=\cos\frac{n\pi}{2}+(2n+1).$$

Первые пять членов:

$$\begin{aligned} y_1&=\cos\frac{\pi}{2}+\tg\frac{3\pi}{4}=0+(-1)=-1,\\ y_2&=\cos\pi+\tg\frac{5\pi}{4}=-1+1=0,\\ y_3&=\cos\frac{3\pi}{2}+\tg\frac{7\pi}{4}=0+(-1)=-1,\\ y_4&=\cos2\pi+\tg\frac{9\pi}{4}=1+1=2,\\ y_5&=\cos\frac{5\pi}{2}+\tg\frac{11\pi}{4}=0+(-1)=-1. \end{aligned}$$

в) $$y_n=n\sin\frac{n\pi}{2}+n^2\cos\frac{n\pi}{2}.$$

Тогда:

$$\begin{aligned} y_1&=1\cdot\sin\frac{\pi}{2}+1^2\cdot\cos\frac{\pi}{2}=1,\\ y_2&=2\sin\pi+2^2\cos\pi=0+4(-1)=-4,\\ y_3&=3\sin\frac{3\pi}{2}+3^2\cos\frac{3\pi}{2}=3(-1)+9\cdot0=-3,\\ y_4&=4\sin2\pi+4^2\cos2\pi=0+16\cdot1=16,\\ y_5&=5\sin\frac{5\pi}{2}+5^2\cos\frac{5\pi}{2}=5\cdot1+25\cdot0=5. \end{aligned}$$

г) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{4}-n\cos\frac{n\pi}{4}.$$

Первые пять членов:

$$\begin{aligned} y_1&=\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0,\\ y_2&=\sin\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{\pi}{2}=1-2\cdot0=1,\\ y_3&=\sin\frac{3\pi}{4}-3\cos\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-3\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2,\\ y_4&=\sin\pi-4\cos\pi=0-4(-1)=4,\\ y_5&=\sin\frac{5\pi}{4}-5\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-5\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2. \end{aligned}$$