Упр.37.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Исследуйте последовательность $$x_n$$ на ограниченность и монотонность: а) $$x_n=\frac{n}{n+2}$$; б) $$x_n=\frac{n^2+1}{n^2}$$.
а) $$x_n=\frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}.$$
Найдём разность соседних членов:
$$x_{n+1}-x_n=\frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{2}{(n+3)(n+2)}>0.$$
Значит, последовательность возрастает.
Кроме того, при $$n\ge 1$$ имеем
$$0<\frac{n}{n+2}<1,$$
то есть последовательность ограничена.
б) $$x_n=\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac{1}{n^2}.$$
Найдём разность соседних членов:
$$x_{n+1}-x_n=\frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^2}-\frac{n^2+1}{n^2}=\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{-2n-1}{n^2(n+1)^2}<0.$$
Следовательно, последовательность убывает.
Так как $$n\ge 1,$$ то $$\frac{1}{n^2}>0,$$ значит
$$x_n>1.$$
Кроме того, наибольшее значение достигается при $$n=1$$:
$$x_1=1+\frac{1}{1^2}=2.$$
Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: а) возрастает, ограничена; б) убывает, ограничена.
