Упр.37.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Дана последовательность $$x_n=n^2-1$$. Исследуйте на ограниченность и монотонность последовательность $$(y_n)$$:
а) $$y_n=x_n$$;
б) $$y_n=x_{n+1}-x_n$$;
в) $$y_n=\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$$;
г) $$y_n=\frac{1}{x_{n+1}}$$.

Подробный ответ

Пусть $$x_n=n^2-1.$$ Исследуем каждую последовательность.

$$y_n=x_n=n^2-1.$$
Найдём разность соседних членов:
$$y_{n+1}-y_n=((n+1)^2-1)-(n^2-1)=2n+1>0.$$
Значит, последовательность $$y_n$$ возрастает. Так как $$n^2-1\ge 0$$ при $$n\ge 1$$, она ограничена снизу.
$$y_n=x_{n+1}-x_n.$$
Вычислим:
$$y_n=((n+1)^2-1)-(n^2-1)=2n+1.$$
Тогда
$$y_{n+1}-y_n=\bigl(2(n+1)+1\bigr)-(2n+1)=2>0.$$
Следовательно, последовательность возрастает. Кроме того, $$y_n=2n+1\ge 3$$, значит, она ограничена снизу.
$$y_n=\dfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}}=\dfrac{(n+2)^2-1}{(n+1)^2-1}.$$
Упростим:
$$y_n=\dfrac{n^2+4n+3}{n^2+2n}=\dfrac{(n+1)(n+3)}{n(n+2)}.$$
Сравним соседние члены:
$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{(n+2)(n+4)}{(n+1)(n+3)}\cdot\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}=\frac{n(n+2)^2(n+4)}{(n+1)^2(n+3)^2}>1.$$
Значит, последовательность возрастает. Все её члены положительны, поэтому она ограничена снизу. Кроме того,
$$y_n=\frac{n^2+4n+3}{n^2+2n}=1+\frac{2n+3}{n^2+2n}>1,$$
то есть последовательность ограничена и сверху числом $$2$$, так как $$\frac{2n+3}{n^2+2n}<1$$ при $$n\ge 1$$.
$$y_n=\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{(n+1)^2-1}=\frac{1}{n^2+2n}.$$
Так как знаменатель возрастает, то дробь убывает. Проверим:
$$y_{n+1}-y_n=\frac{1}{(n+1)^2+2(n+1)}-\frac{1}{n^2+2n}<0.$$
Следовательно, последовательность убывает. Все её члены положительны, значит, она ограничена снизу.