Упр.37.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$p$$ последовательность $$(y_n)$$ будет убывающей:
   а) $$y_n=\frac{2}{p^n}$$;
   б) $$y_n=\frac{p^n+2}{p^n+3}$$;
   в) $$y_n=\frac{p}{\sin\frac{1}{n}}$$;
   г) $$y_n=\frac{5n^2-p}{n^2}$$?

Исследуем каждую последовательность на убывание, то есть проверим, когда выполняется $$y_{n+1}<y_n.$$

1. $$y_n=\frac{2}{pn}.$$

   Тогда

   $$y_{n+1}=\frac{2}{p(n+1)}.$$

   Если $$p>0,$$ то знаменатель с ростом $$n$$ увеличивается, значит $$y_n$$ убывает. При $$p<0$$ последовательность возрастает. Следовательно, последовательность убывает при $$p>0.$$

2. $$y_n=\frac{pn+2}{pn+3}=1-\frac{1}{pn+3}.$$

   Последовательность $$y_n$$ будет убывать тогда и только тогда, когда последовательность $$\frac{1}{pn+3}$$ возрастает, то есть когда знаменатель $$pn+3$$ убывает. Это возможно при

   $$p<0.$$

3. $$y_n=\frac{p}{\sin \frac{1}{n}}.$$

   Так как при $$n>0$$ аргумент $$\frac{1}{n}$$ убывает, то $$\sin \frac{1}{n}$$ тоже убывает, а значит дробь $$\frac{1}{\sin \frac{1}{n}}$$ возрастает. Тогда для убывания $$y_n$$ нужно, чтобы $$p<0.$$

4. $$y_n=\frac{5n^2-p}{n^2}=5-\frac{p}{n^2}.$$

   Последовательность $$y_n$$ убывает тогда и только тогда, когда последовательность $$\frac{p}{n^2}$$ возрастает. Поскольку $$\frac{1}{n^2}$$ убывает, это возможно при

   $$p<0.$$

Ответ: а) $$p>0$$; б) $$p<0$$; в) $$p<0$$; г) $$p<0$$.