Упр.37.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$p$$ последовательность $$(y_n)$$ будет возрастающей:
   а) $$y_n=p^n-5$$;
   б) $$y_n=-\frac{p-1}{n}$$;
   в) $$y_n=2-p^n$$;
   г) $$y_n=\frac{p+2}{n+1}$$?

Для того чтобы последовательность была возрастающей, нужно, чтобы для всех $$n$$ выполнялось $$y_{n+1}-y_n>0$$.

1. $$y_n=pn-5$$

   $$y_{n+1}=p(n+1)-5=pn+p-5$$

   $$y_{n+1}-y_n=(pn+p-5)-(pn-5)=p$$

   Чтобы последовательность возрастала, нужно $$p>0$$.

2. $$y_n=-\frac{p-1}{n}$$

   $$y_{n+1}=-\frac{p-1}{n+1}$$

   Рассмотрим разность:

   $$y_{n+1}-y_n=-\frac{p-1}{n+1}+\frac{p-1}{n}=\frac{p-1}{n(n+1)}$$

   Так как $$n(n+1)>0$$, то для возрастания нужно $$p-1>0$$, то есть $$p>1$$.

3. $$y_n=2-pn$$

   $$y_{n+1}=2-p(n+1)=2-pn-p$$

   $$y_{n+1}-y_n=(2-pn-p)-(2-pn)=-p$$

   Чтобы последовательность возрастала, нужно $$-p>0$$, то есть $$p<0$$.

4. $$y_n=\frac{p+2}{n+1}$$

   $$y_{n+1}=\frac{p+2}{n+2}$$

   Тогда

   $$y_{n+1}-y_n=\frac{p+2}{n+2}-\frac{p+2}{n+1}=\frac{(p+2)\bigl((n+1)-(n+2)\bigr)}{(n+1)(n+2)}=-\frac{p+2}{(n+1)(n+2)}$$

   Так как $$(n+1)(n+2)>0$$, то для возрастания нужно

   $$-(p+2)>0$$

   $$p<-2$$

Ответ: а) $$p>0$$; б) $$p>1$$; в) $$p<0$$; г) $$p<-2$$.