Упр.37.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Если $$\left(x_n\right)$$ — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности $$\left(y_n\right)$$:
   а) $$y_n=5x_n+7$$;
   б) $$y_n=\frac{7}{3+x_n}$$;
   в) $$y_n=2-3x_n$$;
   г) $$y_n=(x_n)^2+2$$?

Пусть $$x_{n+1}>x_n$$, так как последовательность $$\left(x_n\right)$$ возрастающая.

1. $$y_n=5x_n+7$$

   Тогда

   $$y_{n+1}=5x_{n+1}+7>5x_n+7=y_n.$$

   Значит, последовательность $$\left(y_n\right)$$ возрастает.

2. $$y_n=\dfrac{7}{3+x_n}$$

   Так как $$x_{n+1}>x_n$$ и все члены $$x_n$$ положительны, то $$3+x_{n+1}>3+x_n$$, а при положительных знаменателях

   $$\dfrac{7}{3+x_{n+1}}<\dfrac{7}{3+x_n}.$$

   Следовательно, последовательность $$\left(y_n\right)$$ убывает.

3. $$y_n=2-3x_n$$

   Из $$x_{n+1}>x_n$$ получаем

   $$-3x_{n+1}<-3x_n,$$

   значит,

   $$2-3x_{n+1}<2-3x_n,$$

   то есть $$y_{n+1}<y_n$$. Следовательно, последовательность $$\left(y_n\right)$$ убывает.

4. $$y_n=(x_n)^2+2$$

   Так как $$x_n>0$$ и $$x_{n+1}>x_n$$, то

   $$x_{n+1}^2>x_n^2.$$

   Тогда

   $$y_{n+1}=x_{n+1}^2+2>x_n^2+2=y_n.$$

   Следовательно, последовательность $$\left(y_n\right)$$ возрастает.

Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.