Упр.37.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что заданная последовательность убывает: а) $$y_n=\frac{3n+5}{3n-1}$$; б) $$y_n=\frac{1}{n^3+2n}$$; в) $$y_n=\frac{n^2+15}{n^2+2}$$; г) $$y_n=\frac{n^4+2n^2+7}{n^4+2n^2-1}$$.

Докажем, что каждая из данных последовательностей убывает.

1. $$y_n=\frac{3n+5}{3n-1}=1+\frac{6}{3n-1}.$$

   При увеличении $$n$$ знаменатель дроби $$\frac{6}{3n-1}$$ возрастает, значит сама дробь убывает. Следовательно, убывает и последовательность $$y_n$$.

2. $$y_n=\frac{1}{n^3+2n}.$$

   Так как при увеличении $$n$$ знаменатель $$n^3+2n$$ возрастает, то дробь уменьшается. Значит, последовательность $$y_n$$ убывает.

3. $$y_n=\frac{n^2+15}{n^2+2}=1+\frac{13}{n^2+2}.$$

   Знаменатель дроби $$\frac{13}{n^2+2}$$ возрастает при увеличении $$n$$, поэтому эта дробь убывает. Следовательно, убывает и последовательность $$y_n$$.

4. $$y_n=\frac{n^4+2n^2+7}{n^4+2n^2-1}=1+\frac{8}{n^4+2n^2-1}.$$

   При увеличении $$n$$ знаменатель дроби $$\frac{8}{n^4+2n^2-1}$$ возрастает, значит сама дробь убывает. Следовательно, убывает и последовательность $$y_n$$.

Ответ: все данные последовательности убывают.