Упр.37.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что заданная последовательность возрастает: а) $$y_n=n+2n$$; б) $$y_n=\frac{n^2}{n^2+10}$$; в) $$y_n=\frac{n+1}{n+7}$$; г) $$y_n=\frac{n^4+3n^2+1}{n^4+3n^2+6}$$.

Проверим возрастание последовательностей по разности соседних членов.

1. $$y_n=n^3+2n,$$
   $$y_{n+1}=(n+1)^3+2(n+1)=n^3+3n^2+5n+3.$$
   Тогда
   $$y_{n+1}-y_n=(n^3+3n^2+5n+3)-(n^3+2n)=3n^2+3n+3>0.$$
   Значит, последовательность возрастает.
2. $$y_n=\frac{n^2}{n^2+10}=1-\frac{10}{n^2+10}.$$
   Найдём разность:
   $$y_{n+1}-y_n=\left(1-\frac{10}{(n+1)^2+10}\right)-\left(1-\frac{10}{n^2+10}\right).$$
   Получаем
   $$y_{n+1}-y_n=10\left(\frac{1}{n^2+10}-\frac{1}{(n+1)^2+10}\right).$$
   Так как
   $$(n+1)^2+10>n^2+10,$$
   то
   $$\frac{1}{n^2+10}>\frac{1}{(n+1)^2+10},$$
   следовательно,
   $$y_{n+1}-y_n>0.$$
   Значит, последовательность возрастает.
3. $$y_n=\frac{n+1}{n+7}=1-\frac{6}{n+7}.$$
   Тогда
   $$y_{n+1}=1-\frac{6}{n+8}.$$
   Разность:
   $$y_{n+1}-y_n=\left(1-\frac{6}{n+8}\right)-\left(1-\frac{6}{n+7}\right)=6\left(\frac{1}{n+7}-\frac{1}{n+8}\right).$$
   Поскольку
   $$\frac{1}{n+7}>\frac{1}{n+8},$$
   то
   $$y_{n+1}-y_n>0.$$
   Значит, последовательность возрастает.
4. $$y_n=\frac{n^4+3n^2+1}{n^4+3n^2+6}=1-\frac{5}{n^4+3n^2+6}.$$
   Тогда
   $$y_{n+1}=1-\frac{5}{(n+1)^4+3(n+1)^2+6}.$$
   Найдём разность:
   $$y_{n+1}-y_n=5\left(\frac{1}{n^4+3n^2+6}-\frac{1}{(n+1)^4+3(n+1)^2+6}\right).$$
   Так как
   $$(n+1)^4+3(n+1)^2+6>n^4+3n^2+6,$$
   то
   $$\frac{1}{n^4+3n^2+6}>\frac{1}{(n+1)^4+3(n+1)^2+6},$$
   следовательно,
   $$y_{n+1}-y_n>0.$$
   Значит, последовательность возрастает.

Ответ: все данные последовательности возрастают.