Упр.37.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности: а) $$y_n=5^{-n}$$; б) $$y_n=\cos\left(\frac{\pi}{n+5}\right)$$; в) $$y_n=\frac{2}{3n+1}$$; г) $$y_n=\sqrt{n+8}$$.

Исследуем каждую последовательность.

1. $$y_n=5^{-n}$$

   Найдём отношение соседних членов:

   $$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{5^{-(n+1)}}{5^{-n}}=5^{-1}=\frac15<1.$$

   Значит, $$y_{n+1}<y_n$$, последовательность убывает.

2. $$y_n=\cos\frac{\pi}{n+5}$$

   При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{\pi}{n+5}$$ убывает, а на промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\cos x$$ возрастает. Следовательно, значения косинуса увеличиваются.

   Значит, последовательность возрастает.

3. $$y_n=\frac{2}{3n+1}$$

   Найдём отношение соседних членов:

   $$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{2}{3n+4}\cdot\frac{3n+1}{2}=\frac{3n+1}{3n+4}<1.$$

   Следовательно, $$y_{n+1}<y_n$$, последовательность убывает.

4. $$y_n=\sqrt{n+8}$$

   Так как $$n+1+8>n+8$$, то

   $$y_{n+1}=\sqrt{n+9}>\sqrt{n+8}=y_n.$$

   Значит, последовательность возрастает.

Ответ: а) убывает; б) возрастает; в) убывает; г) возрастает.