Упр.37.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите, является ли последовательность $$x_n$$ убывающей или возрастающей: а) $$x_n=3n+2$$; б) $$x_n=\frac{5}{n+3}$$; в) $$x_n=6(1-n)$$; г) $$x_n=-\frac{1}{5}(2n-1)$$.

Исследуем знак разности соседних членов последовательности.

1. $$x_n=3n+2.$$

   $$x_{n+1}=3(n+1)+2=3n+5.$$

   $$x_{n+1}-x_n=(3n+5)-(3n+2)=3>0.$$

   Значит, последовательность возрастает.

2. $$x_n=\frac{5}{n+3}.$$

   $$x_{n+1}=\frac{5}{n+4}.$$

   Так как при любом $$n\in \mathbb{N}$$ выполняется $$n+4>n+3,$$ то

   $$\frac{5}{n+4}<\frac{5}{n+3},$$

   то есть $$x_{n+1}<x_n.$$ Следовательно, последовательность убывает.

3. $$x_n=6(1-n)=6^{\,1-n}.$$

   $$x_{n+1}=6^{\,1-(n+1)}=6^{-n}.$$

   $$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{6^{-n}}{6^{\,1-n}}=6^{-1}=\frac16<1.$$

   Значит, $$x_{n+1}<x_n,$$ и последовательность убывает.

4. $$x_n=\left(-\frac15\right)^{2n-1}.$$

   $$x_{n+1}=\left(-\frac15\right)^{2n+1}.$$

   $$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\left(-\frac15\right)^2=\frac1{25}<1.$$

   Следовательно, $$x_{n+1}>x_n$$ не выполняется; при этом члены последовательности чередуют знак, поэтому она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) убывающая; г) ни возрастающая, ни убывающая.