Упр.37.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$p$$ последовательность: а) $$y_n=\frac{2n+p}{3n-1}$$ ограничена сверху числом 1; б) $$y_n=\frac{p+5n}{3n+1}$$ ограничена снизу числом 1?

Так как последовательность должна удовлетворять условию для всех натуральных $$n,$$ достаточно проверить его при наименьшем значении $$n=1.$$

Решение

1. Пусть $$y_n=\frac{2n+p}{3n-1}$$ ограничена сверху числом $$1.$$ Тогда

   $$\frac{2n+p}{3n-1}\le 1.$$

   Так как при $$n\ge 1$$ знаменатель $$3n-1>0,$$ получаем

   $$2n+p\le 3n-1,$$

   $$p\le n-1.$$

   Это неравенство должно выполняться при всех $$n\ge 1,$$ значит, достаточно взять $$n=1.$$ Тогда

   $$p\le 1-1=0.$$

   Следовательно, $$p\le 0.$$

2. Пусть $$y_n=\frac{p+5n}{3n+1}$$ ограничена снизу числом $$1.$$ Тогда

   $$\frac{p+5n}{3n+1}\ge 1.$$

   Так как при $$n\ge 1$$ знаменатель $$3n+1>0,$$ получаем

   $$p+5n\ge 3n+1,$$

   $$p\ge 1-2n.$$

   Это неравенство должно выполняться при всех $$n\ge 1,$$ значит, достаточно взять $$n=1.$$ Тогда

   $$p\ge 1-2=-1.$$

   Следовательно, $$p\ge -1.$$

Ответ

а) $$p\le 0$$; б) $$p\ge -1.$$