Упр.37.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$p$$ заданная последовательность ограничена сверху числом $$1$$: а) $$y_n=\frac{2n+p}{2n+1}$$; б) $$z_n=\frac{n}{p^2+n}$$.

Чтобы последовательность была ограничена сверху числом $$1,$$ нужно, чтобы для всех $$n$$ выполнялось неравенство $$a_n \le 1.$$

1. $$y_n=\frac{2n+p}{2n+1}.$$

   Требуем:

   $$\frac{2n+p}{2n+1}\le 1.$$

   Так как $$2n+1>0$$ при всех натуральных $$n,$$ умножаем на знаменатель:

   $$2n+p\le 2n+1.$$

   Отсюда

   $$p\le 1.$$

2. $$z_n=\frac{n}{p^2+n}.$$

   Требуем:

   $$\frac{n}{p^2+n}\le 1.$$

   Так как $$p^2+n>0$$ при всех натуральных $$n,$$ умножаем на знаменатель:

   $$n\le p^2+n.$$

   После вычитания $$n$$ получаем:

   $$0\le p^2.$$

   Это верно при любом значении $$p.$$

Ответ: а) $$p\le 1$$; б) $$p$$ — любое число.