Упр.37.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что последовательность $$(x_n)$$ ограниченная. Является ли ограниченной последовательность:
   а) $$y_n=-5x_n+2$$;
   б) $$p_n=\frac{(x_n)^2}{(x_n)^2+1}$$;
   в) $$z_n=\frac{1}{2|x_n|+1}$$;
   г) $$t_n=x_n\sin(3n)$$?

Так как последовательность $$x_n$$ ограничена, то существует число $$M>0$$ такое, что $$|x_n|\le M$$ для всех $$n$$.

1. $$y_n=-5x_n+2.$$

   Если $$|x_n|\le M$$, то

   $$|y_n|=|-5x_n+2|\le 5|x_n|+2\le 5M+2.$$

   Значит, последовательность $$y_n$$ ограничена.

2. $$p_n=\dfrac{x_n^2}{x_n^2+1}.$$

   Так как $$x_n^2\ge 0$$, то

   $$0\le \dfrac{x_n^2}{x_n^2+1}<1.$$

   Следовательно, последовательность $$p_n$$ ограничена.

3. $$z_n=\dfrac{1}{2|x_n|+1}.$$

   Поскольку $$|x_n|\ge 0$$, имеем

   $$0<\dfrac{1}{2|x_n|+1}\le 1.$$

   Значит, последовательность $$z_n$$ ограничена.

4. $$t_n=x_n\sin(3n).$$

   Так как

   $$-1\le \sin(3n)\le 1,$$

   то

   $$|t_n|=|x_n\sin(3n)|\le |x_n|\le M.$$

   Следовательно, последовательность $$t_n$$ ограничена.

Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да.