Упр.37.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Является ли ограниченной последовательность:
а) $$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{n},\ldots$$;
б) $$-2,3,-4,5,\ldots,(-1)^n(n+1),\ldots$$;
в) $$\frac{\sin 1}{1},\frac{\sin 2}{2},\frac{\sin 3}{3},\frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n},\ldots$$;
г) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4},\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4},\operatorname{tg}\frac{5\pi}{4},\ldots,\operatorname{tg}\frac{(2n-1)\pi}{4},\ldots$$?
а) Последовательность $$\frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots,\ \frac1n,\ \ldots$$ ограничена, так как для всех $$n$$ выполняется
$$0<\frac1n\le \frac12.$$
Значит, она ограничена снизу числом $$0$$ и сверху числом $$\frac12$$.
б) Последовательность $$-2,\ 3,\ -4,\ 5,\ \ldots,\ (-1)^n(n+1),\ \ldots$$ не ограничена, так как её члены по модулю неограниченно возрастают:
$$|(-1)^n(n+1)|=n+1\to\infty.$$
в) Последовательность $$\frac{\sin 1}{1},\ -\frac{\sin 2}{2},\ \frac{\sin 3}{3},\ \ldots,\ \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n},\ \ldots$$ ограничена, поскольку
$$-1\le \sin n\le 1,$$
а значит
$$-1\le \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n}\le 1.$$
Следовательно, последовательность ограничена.
г) Последовательность $$\tg\frac{\pi}{4},\ \tg\frac{3\pi}{4},\ \tg\frac{5\pi}{4},\ \ldots,\ \tg\frac{\pi}{4}(2n-1),\ \ldots$$ ограничена, так как
$$\tg\frac{\pi}{4}=1,\quad \tg\frac{3\pi}{4}=-1,\quad \tg\frac{5\pi}{4}=1,\quad \tg\frac{7\pi}{4}=-1,\ \ldots$$
То есть все её члены равны $$1$$ или $$-1$$.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.
