Упр.37.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Является ли ограниченной сверху последовательность:
а) $$x_n=\frac{(-1)^n+1}{n}$$;
б) $$1,-1,1,-2,1,-3,\ldots$$;
в) $$x_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}$$;
г) $$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\ldots$$?

Рассмотрим каждую последовательность.

1. $$x_n=\frac{(-1)^n+1}{n}$$

   Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, значит

   $$x_n=\frac{1+1}{n}=\frac{2}{n}\le 1.$$

   Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, значит

   $$x_n=\frac{-1+1}{n}=0.$$

   Следовательно, последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

2. Последовательность $$1,\,-1,\,1,\,-2,\,1,\,-3,\ldots$$ имеет наибольший член $$1$$, значит она ограничена сверху.

3. $$x_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}$$

   Так как $$n^2+2>n^2-1$$, то

   $$\frac{n^2-1}{n^2+2}<1.$$

   Значит, последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

4. Для последовательности $$\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\ldots$$ каждый член имеет вид

   $$x_n=\frac{n}{n+1}.$$

   Поскольку $$n+1>n$$, то

   $$\frac{n}{n+1}<1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да.