Упр.37.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Является ли ограниченной снизу последовательность: а) $$-1, 2, -3, 4, -5, \ldots$$; б) $$y_n=\frac{n^2}{n+1}$$; в) $$5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, \ldots$$; г) $$y_n=\left((-1)^n+1\right)n^2$$?

Проверим, ограничена ли последовательность снизу, то есть существует ли число $$m$$ такое, что для всех $$n$$ выполняется $$a_n \ge m$$.

1. $$-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ldots$$

   Члены последовательности принимают сколь угодно большие по модулю отрицательные значения, значит, она не ограничена снизу.

2. $$y_n=\frac{n^2}{n+1}$$

   При $$n \ge 1$$ числитель растёт быстрее знаменателя, а значения последовательности положительны. Наименьшее значение достигается при $$n=1$$:

   $$y_1=\frac{1^2}{1+1}=\frac12.$$

   Значит, последовательность ограничена снизу.

3. $$5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0,\ -1,\ldots$$

   Последовательность убывает без нижней границы, поэтому она не ограничена снизу.

4. $$y_n=\bigl((-1)^n+1\bigr)n^2$$

   Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$ и

   $$y_n=2n^2>0.$$

   Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$ и

   $$y_n=0\cdot n^2=0.$$

   Следовательно, $$y_n \ge 0$$ при всех $$n$$, значит, последовательность ограничена снизу.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) да.