Упр.37.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольший член последовательности: а) $$y_n=-2n^2+11n-2$$; б) $$y_n=\frac{3}{2n-5}$$; в) $$y_n=20-12n-3n^2$$; г) $$y_n=\frac{4}{n+4}$$.

Для последовательностей, заданных квадратным трёхчленом, наибольшее значение достигается в вершине параболы, если ветви направлены вниз. Для дробно-линейных выражений с убывающим графиком наибольшее значение берут в ближайшей точке справа от вертикальной асимптоты.

1. $$y_n=-2n^2+11n-2$$

   Найдём абсциссу вершины:

   $$n_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{11}{2\cdot(-2)}=\frac{11}{4}=2\frac34.$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, берём ближайшее значение $$n=3$$:

   $$y_3=-2\cdot 3^2+11\cdot 3-2=-18+33-2=13.$$

   Наибольший член: $$13$$.

2. $$y_n=\frac{3}{2n-5}$$

   Знаменатель обращается в нуль при

   $$2n-5=0,\quad n=2{,}5.$$

   При натуральных $$n$$ ближайшее значение справа от асимптоты — $$n=3$$:

   $$y_3=\frac{3}{2\cdot 3-5}=\frac{3}{1}=3.$$

   Наибольший член: $$3$$.

3. $$y_n=20-12n-3n^2$$

   Это парабола, ветви направлены вниз. Найдём вершину:

   $$n_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot(-3)}=-2.$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, наибольшее значение последовательность принимает при наименьшем $$n$$, то есть при $$n=1$$:

   $$y_1=20-12\cdot 1-3\cdot 1^2=20-12-3=5.$$

   Наибольший член: $$5$$.

4. $$y_n=\frac{4}{n+4}$$

   Знаменатель равен нулю при

   $$n+4=0,\quad n=-4.$$

   При натуральных $$n$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается при $$n=1$$:

   $$y_1=\frac{4}{1+4}=\frac45.$$

   Наибольший член: $$\frac45$$.

Ответ: а) $$13$$; б) $$3$$; в) $$5$$; г) $$\frac45$$.