Упр.37.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Дана последовательность $$y_n=n^2-18n$$. а) Установите, сколько в ней отрицательных членов; б) найдите наименьший член последовательности; в) укажите номер члена последовательности, который равен $$19$$; г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку $$[-15;2]$$.

Рассмотрим последовательность $$y_n=n^2-18n.$$

а)

Найдём, при каких значениях $$n$$ члены последовательности отрицательны:

$$n^2-18n<0$$

$$n(n-18)<0$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то неравенство выполняется при $$1\le n\le 17$$.

Отрицательных членов последовательности 17.

б)

Последовательность задаётся квадратичной функцией с ветвями параболы, направленными вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$n_0=\frac{-b}{2a}=\frac{18}{2}=9.$$

Тогда

$$y_9=9^2-18\cdot 9=81-162=-81.$$

Наименьший член последовательности равен $$-81$$.

в)

Найдём номер члена, равного $$19$$:

$$n^2-18n=19$$

$$n^2-18n-19=0$$

$$D=18^2+4\cdot 19=324+76=400.$$

Тогда

$$n=\frac{18\pm 20}{2}.$$

Получаем $$n_1=19$$, $$n_2=-1$$. Подходит только натуральное значение.

Искомый номер: 19.

г)

Найдём, при каких натуральных $$n$$ выполняется

$$-15\le n^2-18n\le 2.$$

Решим по отдельности:

$$n^2-18n+15\ge 0,$$

$$n^2-18n-2\le 0.$$

Из первого неравенства получаем $$n\le 0{,}9$$ или $$n\ge 17{,}1$$, а для натуральных $$n$$ это означает $$n\ge 18$$.

Из второго неравенства получаем $$0{,}1\le n\le 18{,}1$$, а для натуральных $$n$$ это означает $$n\le 18$$.

Совместно получаем только $$n=18$$.

На отрезке $$[-15;2]$$ лежит 1 член последовательности.

Ответ

а) 17; б) $$-81$$; в) 19; г) 1.