Упр.37.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите число положительных членов последовательности: а) $$y_n=4n-n^2$$; б) $$y_n=\frac{140-n^2}{6n-11}$$; в) $$y_n=-n^2+9n-14$$; г) $$y_n=\frac{123}{147-5n}$$.

а) $$y_n=4n-n^2$$

Найдём, при каких натуральных $$n$$ выполняется неравенство:

$$4n-n^2>0$$

$$n(4-n)>0$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то

$$0<n<4$$

Подходят значения $$n=1,2,3$$. Следовательно, положительных членов последовательности 3.

б) $$y_n=\dfrac{140-n^2}{6n-11}$$

Решим неравенство:

$$\dfrac{140-n^2}{6n-11}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака.

1) $$140-n^2>0 \Rightarrow -\sqrt{140}<n<\sqrt{140}$$

Для натуральных $$n$$ это даёт $$n=1,2,\dots,11$$.

2) $$6n-11>0 \Rightarrow n>\dfrac{11}{6}$$, то есть $$n\ge 2$$.

Значит, положительные члены получаются при $$n=2,3,\dots,11$$. Их число равно 10.

в) $$y_n=-n^2+9n-14$$

Решим неравенство:

$$-n^2+9n-14>0$$

$$n^2-9n+14<0$$

$$(n-2)(n-7)<0$$

Отсюда

$$2<n<7$$

Для натуральных $$n$$ получаем $$n=3,4,5,6$$. Значит, положительных членов 4.

г) $$y_n=\dfrac{123}{147-5n}$$

Так как числитель положителен, то дробь будет положительной при

$$147-5n>0$$

$$n<\dfrac{147}{5}=29{,}4$$

Для натуральных $$n$$ это означает $$n=1,2,\dots,29$$. Следовательно, положительных членов 29.

Ответ: а) 3; б) 10; в) 4; г) 29.