Упр.37.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколько членов последовательности не превосходят $$1$$:
   а) $$\frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, \ldots$$;
   б) $$\frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, \ldots$$;
   в) $$\frac{2}{129}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, \ldots$$;
   г) $$\frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, \ldots$$?

а) Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=\frac{1}{3125}, \quad q=\frac{1/625}{1/3125}=5.$$

Тогда

$$b_n=b_1q^{n-1}=\frac{1}{3125}\cdot 5^{n-1}=\frac{5^{n-1}}{5^5}=5^{n-6}.$$

Найдём наибольший номер $$n$$, при котором $$b_n\le 1$$:

$$5^{n-6}\le 1 \Rightarrow n-6\le 0 \Rightarrow n\le 6.$$

Значит, таких членов 6.

б) Последовательность также является геометрической:

$$a_1=\frac{6}{377}, \quad q=\frac{11/379}{6/377}=\frac{11\cdot 377}{6\cdot 379}.$$

Удобнее заметить, что общий член имеет вид

$$a_n=\frac{5n+1}{2n+375}.$$

Тогда

$$\frac{5n+1}{2n+375}\le 1 \Rightarrow 5n+1\le 2n+375 \Rightarrow 3n\le 374 \Rightarrow n\le 124\frac{2}{3}.$$

Наибольший целый номер: 124.

в) Это геометрическая прогрессия, где

$$b_1=\frac{2}{729}, \quad q=\frac{2/243}{2/729}=3.$$

Следовательно,

$$b_n=\frac{2}{729}\cdot 3^{n-1}=\frac{2\cdot 3^{n-1}}{3^6}.$$

Ищем наибольший номер $$n$$, при котором $$b_n\le 1$$:

$$\frac{2\cdot 3^{n-1}}{3^6}\le 1 \Rightarrow 2\cdot 3^{n-1}\le 3^6.$$

Отсюда $$n\le 6$$, значит, таких членов 6.

г) Общий член последовательности:

$$a_n=\frac{7n-5}{3n+216}.$$

Тогда

$$\frac{7n-5}{3n+216}\le 1 \Rightarrow 7n-5\le 3n+216 \Rightarrow 4n\le 221 \Rightarrow n\le 55\frac{1}{4}.$$

Наибольший целый номер: 55.

Ответ: а) 6; б) 124; в) 6; г) 55.