Упр.37.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сколько членов последовательности $$u_n=2n^2-7n+5$$ принадлежит:

а) отрезку $$[2;5]$$;

б) промежутку $$(-\infty;10)$$?

Рассмотрим последовательность $$y_n=2n^2-7n+5.$$

а) Сколько членов последовательности принадлежит отрезку $$[2;5]$$

Найдём, при каких целых $$n$$ выполняется

$$2\le 2n^2-7n+5\le 5.$$

Это равносильно системе неравенств:

$$2n^2-7n+3\ge 0,$$

$$2n^2-7n\le 0.$$

Решим каждое из них.

$$2n^2-7n+3=(2n-1)(n-3)\ge 0,$$

откуда $$n\le \frac12$$ или $$n\ge 3.$$

Далее

$$n(2n-7)\le 0,$$

откуда $$0\le n\le \frac72.$$

Пересечение этих условий для натуральных $$n$$ даёт только $$n=3.$$

б) Сколько членов последовательности принадлежит промежутку $$(-\infty;10)$$

Нужно, чтобы

$$2n^2-7n+5<10,$$

то есть

$$2n^2-7n-5<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-5)=49+40=89,$$

$$n_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{89}}{4}.$$

Приближённо:

$$n_1\approx -0{,}6,\qquad n_2\approx 4{,}1.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-0{,}6<n<4{,}1.$$

Для натуральных $$n$$ получаем:

$$n=1,2,3,4.$$

Ответ: а) 1; б) 4.