Упр.37.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом, что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов.
а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.
б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.
в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата?
г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?
Пусть сторона первого квадрата равна $$a_1=1\text{ см}.$$
Если вершины одного квадрата являются серединами сторон следующего, то сторона следующего квадрата в $$\sqrt{2}$$ раза больше предыдущей. Значит, последовательность сторон — геометрическая прогрессия с знаменателем $$q=\sqrt{2}$$.
а)
Периметр квадрата равен $$P=4a,$$ поэтому периметры тоже образуют геометрическую прогрессию:
$$P_1=4\cdot 1=4,\qquad q=\sqrt{2}.$$
Тогда
$$P_n=4(\sqrt{2})^{\,n-1}.$$
Первые пять членов:
$$P_1=4,\quad P_2=4\sqrt{2},\quad P_3=8,\quad P_4=8\sqrt{2},\quad P_5=16.$$
б)
Площади квадратов образуют геометрическую прогрессию, так как при увеличении стороны в $$\sqrt{2}$$ раза площадь увеличивается в $$2$$ раза:
$$S_1=1^2=1,\qquad q=2.$$
Следовательно,
$$S_n=2^{\,n-1}.$$
Первые пять членов:
$$S_1=1,\quad S_2=2,\quad S_3=4,\quad S_4=8,\quad S_5=16.$$
в)
Сторона $$n$$-го квадрата:
$$a_n=(\sqrt{2})^{\,n-1}.$$
Тогда
$$a_{11}=(\sqrt{2})^{10}=2^5=32\text{ см}.$$
г)
Площадь $$17$$-го квадрата:
$$S_{17}=2^{16}=65536\text{ см}^2.$$
Ответ: а) $$4,\ 4\sqrt{2},\ 8,\ 8\sqrt{2},\ 16$$; б) $$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16$$; в) $$32\text{ см}$$; г) $$65536\text{ см}^2$$.
