Упр.37.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) В числителе стоят степени числа $$3$$, а в знаменателе — степени числа $$2$$:

$$a_1=\frac{3^1}{2^2},\quad a_2=\frac{3^2}{2^4},\quad a_3=\frac{3^3}{2^6},\quad a_4=\frac{3^4}{2^8},\dots$$

Значит,

$$a_n=\frac{3^n}{2^{2n}}.$$

б) Числители образуют последовательность $$1,3,5,7,9,\dots$$, то есть $$2n-1$$, а знаменатели равны $$\left(\sqrt2\right)^n$$:

$$a_1=\frac{1}{\sqrt2},\quad a_2=\frac{3}{2},\quad a_3=\frac{5}{2\sqrt2},\quad a_4=\frac{7}{4},\dots$$

Следовательно,

$$a_n=\frac{2n-1}{\left(\sqrt2\right)^n}.$$

в) Числители — квадраты натуральных чисел, а знак чередуется. Знаменатель имеет вид $$\sqrt{n(n+1)}$$:

$$a_1=\frac{1^2}{\sqrt{1\cdot2}},\quad a_2=-\frac{2^2}{\sqrt{2\cdot3}},\quad a_3=\frac{3^2}{\sqrt{3\cdot4}},\quad a_4=-\frac{4^2}{\sqrt{4\cdot5}},\dots$$

Поэтому

$$a_n=\frac{(-1)^{n+1}n^2}{\sqrt{n(n+1)}}.$$

г) Числители: $$4,9,14,19,24,\dots$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$5$$, значит общий член числителя равен $$5n-1$$. Знак чередуется, знаменатель равен $$n(n+1)(n+2)$$:

$$a_1=\frac{4}{1\cdot2\cdot3},\quad a_2=-\frac{9}{2\cdot3\cdot4},\quad a_3=\frac{14}{3\cdot4\cdot5},\quad a_4=-\frac{19}{4\cdot5\cdot6},\dots$$

Следовательно,

$$a_n=\frac{(-1)^{n+1}(5n-1)}{n(n+1)(n+2)}.$$

Ответ

а) $$a_n=\frac{3^n}{2^{2n}}$$; б) $$a_n=\frac{2n-1}{\left(\sqrt2\right)^n}$$; в) $$a_n=\frac{(-1)^{n+1}n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$$; г) $$a_n=\frac{(-1)^{n+1}(5n-1)}{n(n+1)(n+2)}$$.