Упр.37.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задайте формулой $$n$$-го члена и рекуррентным способом: а) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, не делящихся на 4; б) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5; в) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно); г) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно).

а) Чётные натуральные числа, не делящиеся на $$4$$, образуют последовательность:

$$2,\,6,\,10,\,14,\,18,\dots$$

Это арифметическая прогрессия с первым членом $$a_1=2$$ и разностью $$d=4$$. Тогда

$$a_n=2+4(n-1)=4n-2,$$

рекуррентно:

$$a_1=2,\qquad a_n=a_{n-1}+4.$$

б) Числа, дающие при делении на $$13$$ остаток $$5$$, имеют вид:

$$18,\,31,\,44,\,57,\dots$$

Здесь $$a_1=18,\ d=13$$, значит

$$a_n=18+13(n-1)=13n+5,$$

рекуррентно:

$$a_1=18,\qquad a_n=a_{n-1}+13.$$

в) Числа, делящиеся и на $$3$$, и на $$7$$, делятся на $$\operatorname{lcm}(3,7)=21.$$

Получаем последовательность:

$$21,\,42,\,63,\,84,\dots$$

Тогда

$$a_n=21n,$$

рекуррентно:

$$a_1=21,\qquad a_n=a_{n-1}+21.$$

г) Чётные числа, делящиеся и на $$3$$, и на $$5$$, делятся на $$\operatorname{lcm}(2,3,5)=30.$$

Следовательно, последовательность такова:

$$30,\,60,\,90,\,120,\dots$$

Имеем

$$a_n=30n,$$

рекуррентно:

$$a_1=30,\qquad a_n=a_{n-1}+30.$$

Ответ

а) $$a_n=4n-2,\ a_1=2,\ a_n=a_{n-1}+4$$;
б) $$a_n=13n+5,\ a_1=18,\ a_n=a_{n-1}+13$$;
в) $$a_n=21n,\ a_1=21,\ a_n=a_{n-1}+21$$;
г) $$a_n=30n,\ a_1=30,\ a_n=a_{n-1}+30$$.