Упр.36.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\left(1+\sqrt{3}i\right)^3$$; б) $$\left(1+\sqrt{3}i\right)^5$$; в) $$\left(\sqrt{3}+i\right)^7$$; г) $$\left(\sqrt{3}-i\right)^9$$.

Подробный ответ

Представим каждое число в тригонометрической форме и воспользуемся формулой Муавра:

$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),$$

где $$r=|z|$$, $$\varphi$$ — аргумент числа.

$$z=(1+\sqrt{3}i)^3$$
$$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$\varphi=\arctan\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{\pi}{3}.$$
Тогда
$$z=\left(2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\right)^3=2^3\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)=8(-1)=-8.$$
$$z=(1+\sqrt{3}i)^5$$
$$r=2,\qquad \varphi=\frac{\pi}{3}.$$
Тогда
$$z=\left(2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\right)^5=2^5\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$$
Так как
$$\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12,\qquad \sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$
получаем
$$z=32\left(\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=16(1-\sqrt{3}i).$$
$$z=(\sqrt{3}+i)^7$$
$$r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$\varphi=\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$
Тогда
$$z=\left(2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right)^7=2^7\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right).$$
Так как
$$\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12,$$
то
$$z=128\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac12 i\right)=-64(\sqrt{3}+i).$$
$$z=(\sqrt{3}-i)^9$$
$$r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$\varphi=-\frac{\pi}{6}.$$
Тогда
$$z=\left(2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)^9=2^9\left(\cos\left(-\frac{9\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{9\pi}{6}\right)\right).$$
Следовательно,
$$z=512\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=512(0-i)= -512i.$$