Упр.36.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$(1+i)^4$$; б) $$(1+i)^6$$; в) $$(1-i)^{10}$$; г) $$(1-i)^{20}$$.
Представим число $$1+i$$ в тригонометрической форме:
$$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4}.$$
Тогда
$$1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$$
а)
$$(1+i)^4=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^4 =(\sqrt2)^4\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)=4(-1)=-4.$$
б)
$$(1+i)^6=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^6 =(\sqrt2)^6\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=8(0-i)=-8i.$$
Для числа $$1-i$$ имеем:
$$|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad \arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}.$$
Значит,
$$1-i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right).$$
в)
$$(1-i)^{10}=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{10} =(\sqrt2)^{10}\left(\cos\frac{5\pi}{2}-i\sin\frac{5\pi}{2}\right)=32(0-i)=-32i.$$
г)
$$(1-i)^{20}=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{20} =(\sqrt2)^{20}\left(\cos 5\pi-i\sin 5\pi\right)=1024(-1)=-1024.$$
Ответ: а) $$-4$$; б) $$-8i$$; в) $$-32i$$; г) $$-1024$$.
