Упр.36.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите:

а) $$(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)^8$$;

б) $$(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)^{18}$$;

в) $$(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ)^{10}$$;

г) $$(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ)^{100}$$.

Используем формулу Муавра:

$$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha.$$

1. $$\left(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ\right)^8=\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

2. $$\left(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ\right)^{18}=\cos 270^\circ+i\sin 270^\circ=-i.$$

3. $$\left(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ\right)^{10}=\cos 750^\circ+i\sin 750^\circ=\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i.$$

4. $$\left(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ\right)^{100}=\cos 7500^\circ+i\sin 7500^\circ=\cos 300^\circ+i\sin 300^\circ=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Ответ: а) $$-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$; б) $$-i$$; в) $$\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i$$; г) $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$.