Упр.36.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$z=0{,}5\left(\cos 0{,}23\pi+i\sin 0{,}23\pi\right)$$. Какие числа из множества $$\{z,z^2,z^3,\ldots,z^9,z^{10}\}$$:

а) расположены во второй координатной четверти;

б) расположены вне круга радиуса $$0{,}2$$ с центром в начале координат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса $$0{,}001$$ с центром в начале координат?

Пусть $$z=0{,}5(\cos 0{,}23\pi+i\sin 0{,}23\pi).$$ Тогда по формуле Муавра

$$z^n=0{,}5^n\bigl(\cos(0{,}23n\pi)+i\sin(0{,}23n\pi)\bigr).$$

Вычислим первые степени:

$$\begin{aligned} z&=0{,}5(\cos 0{,}23\pi+i\sin 0{,}23\pi),\\ z^2&=0{,}25(\cos 0{,}46\pi+i\sin 0{,}46\pi),\\ z^3&=0{,}125(\cos 0{,}69\pi+i\sin 0{,}69\pi),\\ z^4&=0{,}0625(\cos 0{,}92\pi+i\sin 0{,}92\pi),\\ z^5&=0{,}03125(\cos 1{,}15\pi+i\sin 1{,}15\pi),\\ z^6&=0{,}015625(\cos 1{,}38\pi+i\sin 1{,}38\pi),\\ z^7&=0{,}0078125(\cos 1{,}61\pi+i\sin 1{,}61\pi),\\ z^8&=0{,}00390625(\cos 1{,}84\pi+i\sin 1{,}84\pi),\\ z^9&=0{,}001953125(\cos 2{,}07\pi+i\sin 2{,}07\pi),\\ z^{10}&=0{,}0009765625(\cos 2{,}3\pi+i\sin 2{,}3\pi). \end{aligned}$$

Так как аргумент каждого следующего числа увеличивается на $$0{,}23\pi,$$ то определим четверти по значениям аргумента.

1. Во второй координатной четверти лежат числа, для которых $$\frac{\pi}{2}<\arg z^n<\pi.$$ Это выполняется для $$z^3$$ и $$z^4.$$
2. Вне круга радиуса $$0{,}2$$ с центром в начале координат лежат числа с модулем $$>0{,}2.$$ Поскольку $$|z^n|=0{,}5^n,$$ получаем:
   $$|z|=0{,}5,\quad |z^2|=0{,}25,\quad |z^3|=0{,}125,\ldots$$
   Значит, подходят только $$z$$ и $$z^2.$$
3. В первой координатной четверти лежат числа, для которых $$0<\arg z^n<\frac{\pi}{2}.$$ Это $$z,$$ $$z^2,$$ $$z^9,$$ $$z^{10}.$$
4. Правее оси ординат и внутри круга радиуса $$0{,}001$$ с центром в начале координат лежат числа с положительной действительной частью и модулем $$<0{,}001.$$ Из найденных степеней этому условию удовлетворяет только $$z^{10},$$ так как
   $$|z^{10}|=0{,}5^{10}=\frac{1}{1024}\approx 0{,}0009765625<0{,}001,$$
   а его аргумент $$2{,}3\pi$$ соответствует правой полуплоскости.

Ответ: а) $$z^3,\ z^4$$; б) $$z,\ z^2$$; в) $$z,\ z^2,\ z^9,\ z^{10}$$; г) $$z^{10}.$$