Упр.36.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$z=2(\cos 0{,}21\pi+i\sin 0{,}21\pi)$$. Какие числа из множества $$\{z,z^2,z^3,\ldots,z^9,z^{10}\}$$:
   а) расположены во второй координатной четверти;
   б) расположены внутри круга радиуса $$500$$ с центром в начале координат;
   в) расположены в первой координатной четверти;
   г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса $$500$$ с центром в начале координат?

Пусть $$z=2(\cos 0{,}21\pi+i\sin 0{,}21\pi).$$ Тогда

$$z^n=2^n\bigl(\cos(0{,}21n\pi)+i\sin(0{,}21n\pi)\bigr).$$

Найдём аргументы и модули степеней:

$$z^2=4(\cos 0{,}42\pi+i\sin 0{,}42\pi),$$
$$z^3=8(\cos 0{,}63\pi+i\sin 0{,}63\pi),$$
$$z^4=16(\cos 0{,}84\pi+i\sin 0{,}84\pi),$$
$$z^5=32(\cos 1{,}05\pi+i\sin 1{,}05\pi),$$
$$z^6=64(\cos 1{,}26\pi+i\sin 1{,}26\pi),$$
$$z^7=128(\cos 1{,}47\pi+i\sin 1{,}47\pi),$$
$$z^8=256(\cos 1{,}68\pi+i\sin 1{,}68\pi),$$
$$z^9=512(\cos 1{,}89\pi+i\sin 1{,}89\pi),$$
$$z^{10}=1024(\cos 2{,}1\pi+i\sin 2{,}1\pi)=1024(\cos 0{,}1\pi+i\sin 0{,}1\pi).$$

Ход решения

1. Во второй координатной четверти находятся числа, у которых аргумент удовлетворяет условию $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$ Это выполняется для $$z^3$$ и $$z^4.$$
2. Внутри круга радиуса $$500$$ с центром в начале координат лежат числа с модулем меньше $$500.$$
   Так как модуль $$z^n$$ равен $$2^n,$$ получаем:
   $$2<500,\ 4<500,\ 8<500,\ 16<500,\ 32<500,\ 64<500,\ 128<500,\ 256<500,$$ а $$512>500,\ 1024>500.$$
   Значит, подходят $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6,\ z^7,\ z^8.$$
3. В первой координатной четверти находятся числа, для которых $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$ Это $$z,\ z^2,\ z^{10}.$$
4. Правее оси ординат и вне круга радиуса $$500$$ лежат числа с аргументом $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ или $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ и с модулем $$\rho>500.$$
   Из данных чисел этому условию удовлетворяют $$z^9$$ и $$z^{10}.$$

Ответ

а) $$z^3,\ z^4$$;
б) $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6,\ z^7,\ z^8$$;
в) $$z,\ z^2,\ z^{10}$$;
г) $$z^9,\ z^{10}$$.