Упр.36.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$z=\cos 0{,}19\pi+i\sin 0{,}19\pi$$. Какие числа из множества $$\{z,z^2,z^3,\ldots,z^9,z^{10}\}$$: а) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены во второй или в четвертой координатной четверти?

Так как $$z=\cos 0{,}19\pi+i\sin 0{,}19\pi,$$ то

$$z^n=\cos(0{,}19n\pi)+i\sin(0{,}19n\pi).$$

Найдём аргументы для степеней от $$1$$ до $$10$$:

$$\begin{aligned} z&=\cos 0{,}19\pi+i\sin 0{,}19\pi,\\ z^2&=\cos 0{,}38\pi+i\sin 0{,}38\pi,\\ z^3&=\cos 0{,}57\pi+i\sin 0{,}57\pi,\\ z^4&=\cos 0{,}76\pi+i\sin 0{,}76\pi,\\ z^5&=\cos 0{,}95\pi+i\sin 0{,}95\pi,\\ z^6&=\cos 1{,}14\pi+i\sin 1{,}14\pi,\\ z^7&=\cos 1{,}33\pi+i\sin 1{,}33\pi,\\ z^8&=\cos 1{,}52\pi+i\sin 1{,}52\pi,\\ z^9&=\cos 1{,}71\pi+i\sin 1{,}71\pi,\\ z^{10}&=\cos 1{,}9\pi+i\sin 1{,}9\pi. \end{aligned}$$

Используем расположение аргумента на тригонометрической окружности:

• выше оси абсцисс — при $$0<\alpha<\pi$$;
• правее оси ординат — при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ или $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$;
• в первой четверти — при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$;
• во второй или четвёртой четверти — при $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$ или $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$.

Тогда:

1. выше оси абсцисс расположены $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$;
2. правее оси ординат расположены $$z,\ z^2,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$;
3. в первой координатной четверти расположены $$z,\ z^2$$;
4. во второй или в четвёртой координатной четверти расположены $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.

Ответ: а) $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$; б) $$z,\ z^2,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$; в) $$z,\ z^2$$; г) $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.