Упр.36.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) При каком действительном значении $$a$$ выражение $$\frac{a(\sin 75^\circ+i\cos 75^\circ)^{12}}{i(a+2i)^2-(14-3ai)-2}$$ является действительным числом? б) При каком действительном значении $$b$$ выражение $$\frac{b:\left(\cos 22^\circ30′-i\sin 22^\circ30’\right)^{16}}{i(3i-b)^2-(3-8bi)-3}$$ является действительным числом?

а) Преобразуем числитель:

$$a(\sin 75^\circ+i\cos 75^\circ)^{12}=a(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)^{12}=a(\cos 180^\circ+i\sin 180^\circ)= -a.$$

Чтобы дробь была действительным числом, знаменатель тоже должен быть действительным:

$$i(a+2i)^2-(14-3ai)-2=i(a^2+4ai-4)-14+3ai-2=(a^2+3a-4)i-16-4a.$$

Тогда

$$a^2+3a-4=0,$$

$$D=3^2+16=25,$$

$$a_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad a_2=\frac{-3+5}{2}=1.$$

Проверим, при каких значениях знаменатель не равен нулю:

$$a=-4:\quad -16-4(-4)=0,$$

$$a=1:\quad -16-4\cdot 1=-20\ne 0.$$

Значит, подходит только $$a=1.$$

б) Преобразуем числитель:

$$b:(\cos 22^\circ30′-i\sin 22^\circ30′)^{16}=b\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)^{-16}=b(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=b.$$

Знаменатель:

$$i(3i-b)^2-(3-8bi)-3=i(-9-6bi+b^2)-3+8bi-3=(b^2+8b-9)i+6b-6.$$

Чтобы дробь была действительным числом, нужно

$$b^2+8b-9=0.$$

$$D=8^2+36=100,$$

$$b_1=\frac{-8-10}{2}=-9,\qquad b_2=\frac{-8+10}{2}=1.$$

Проверим знаменатель:

$$b=-9:\quad 6(-9)-6=-60\ne 0,$$

$$b=1:\quad 6\cdot 1-6=0.$$

Следовательно, подходит только $$b=-9.$$

Ответ

а) $$a=1$$; б) $$b=-9$$.