Упр.36.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Произвольно отметьте на комплексной плоскости число $$z_0$$, у которого $$|z_0|=1$$ и $$-\frac{\pi}{2}<\arg(z_0)<0$$.
а) Изобразите корень уравнения $$z^3=z_0$$, принадлежащий четвертой координатной четверти.
б) Изобразите множество корней уравнения $$z^3=z_0$$.
в) Объясните, почему у уравнения $$z^3=z_0$$ нет корней, расположенных в первой четверти.
г) Найдите площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б).
Пусть $$z_0=\cos \alpha+i\sin \alpha,$$ где $$|z_0|=1,\qquad -\frac{\pi}{2}<\alpha<0.$$
Решаем уравнение
$$z^3=z_0.$$
Тогда все его корни имеют вид
$$z_k=\cos \frac{\alpha+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\alpha+2\pi k}{3},\qquad k=0,1,2.$$
Так как $$-\frac{\pi}{2}<\alpha<0,$$ то
$$-\frac{\pi}{6}<\frac{\alpha}{3}<0.$$
Отсюда:
- $$z_3=\cos \frac{\alpha}{3}+i\sin \frac{\alpha}{3}$$ — корень, лежащий в четвертой четверти;
- $$z_1=\cos \frac{\alpha+2\pi}{3}+i\sin \frac{\alpha+2\pi}{3}$$ — корень во второй четверти;
- $$z_2=\cos \frac{\alpha+4\pi}{3}+i\sin \frac{\alpha+4\pi}{3}$$ — корень в третьей четверти.
Все три корня являются вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окружность $$|z|=1.$$ Поэтому в первой четверти корней нет: углы аргументов корней отличаются на $$\frac{2\pi}{3},$$ и при $$-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$$ один корень попадает в IV четверть, а два других — во II и III четверти.
Найдём площадь треугольника. Его сторона — хорда, стягивающая дугу в $$\frac{2\pi}{3},$$ значит
$$a=2R\sin \frac{\pi}{3}=2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$
Тогда площадь равностороннего треугольника
$$S=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot (\sqrt3)^2=\frac{3\sqrt3}{4}.$$
Ответ
а) $$z_3=\cos \frac{\alpha}{3}+i\sin \frac{\alpha}{3}$$; б) $$z_1,\ z_2,\ z_3$$ — вершины равностороннего треугольника; в) корней в первой четверти нет; г) $$S=\frac{3\sqrt3}{4}.$$
