Упр.36.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости: а) $$\sqrt[3]{64}$$; б) $$\sqrt[3]{-27}$$; в) $$\sqrt[3]{125i}$$; г) $$\sqrt[3]{-512i}$$.

Пусть $$z=re^{i\varphi}$$. Тогда все кубические корни числа $$z$$ имеют вид

$$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

а) $$\sqrt[3]{64}$$

$$64=64(\cos 0+i\sin 0), \quad \sqrt[3]{64}=4.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{64}=4\left(\cos \frac{2\pi k}{3}+i\sin \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем корни:

$$4,\quad 4\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)=2(-1+\sqrt{3}i),\quad 4\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)=-2(1+\sqrt{3}i).$$

б) $$\sqrt[3]{-27}$$

$$-27=27(\cos \pi+i\sin \pi), \quad \sqrt[3]{27}=3.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{-27}=3\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем корни:

$$3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}(1+\sqrt{3}i),$$

$$3\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-3,$$

$$3\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}(1-\sqrt{3}i).$$

в) $$\sqrt[3]{125i}$$

$$125i=125\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right), \quad \sqrt[3]{125}=5.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{125i}=5\left(\cos \frac{\pi+4\pi k}{6}+i\sin \frac{\pi+4\pi k}{6}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем корни:

$$5\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)=\frac{5}{2}(\sqrt{3}+i),$$

$$5\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5}{2}(-\sqrt{3}+i),$$

$$5\left(\cos \frac{9\pi}{6}+i\sin \frac{9\pi}{6}\right)=-5i.$$

г) $$\sqrt[3]{-512i}$$

$$-512i=512\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right), \quad \sqrt[3]{512}=8.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{-512i}=8\left(\cos \frac{3\pi+4\pi k}{6}+i\sin \frac{3\pi+4\pi k}{6}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем корни:

$$8\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=8i,$$

$$8\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right)=-4(\sqrt{3}+i),$$

$$8\left(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}\right)=4(\sqrt{3}-i).$$

Ответ: а) $$4,\ 2(-1+\sqrt{3}i),\ -2(1+\sqrt{3}i)$$; б) $$\frac{3}{2}(1+\sqrt{3}i),\ -3,\ \frac{3}{2}(1-\sqrt{3}i)$$; в) $$\frac{5}{2}(\sqrt{3}+i),\ \frac{5}{2}(-\sqrt{3}+i),\ -5i$$; г) $$8i,\ -4(\sqrt{3}+i),\ 4(\sqrt{3}-i)$$.