Упр.36.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$z=3(\cos 0{,}3\pi+i\sin 0{,}3\pi)$$. Верно ли, что:

• а) $$z^6$$ принадлежит первой координатной четверти;
• б) $$z^6$$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 1000;
• в) $$z^6$$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль меньше 750;
• г) $$z^{16}$$ принадлежит второй координатной четверти?

Пусть $$z=3(\cos 0{,}3\pi+i\sin 0{,}3\pi).$$ Тогда для степени комплексного числа имеем:

$$z^n=3^n\bigl(\cos(0{,}3n\pi)+i\sin(0{,}3n\pi)\bigr).$$

Найдём нужные степени.

1) $$z^6=3^6\bigl(\cos(1{,}8\pi)+i\sin(1{,}8\pi)\bigr)=729\bigl(\cos(1{,}8\pi)+i\sin(1{,}8\pi)\bigr).$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<1{,}8\pi<2\pi,$$ то число $$z^6$$ лежит в IV четверти. Но его модуль равен $$|z^6|=729, $$а это меньше $$1000$$ и меньше $$750$$.

2) $$z^{16}=3^{16}\bigl(\cos(4{,}8\pi)+i\sin(4{,}8\pi)\bigr)=3^{16}\bigl(\cos(0{,}8\pi)+i\sin(0{,}8\pi)\bigr).$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<0{,}8\pi<\pi,$$ то число $$z^{16}$$ лежит во II четверти.

Следовательно:

• а) неверно;
• б) неверно;
• в) верно;
• г) верно.

Ответ: а) неверно; б) неверно; в) верно; г) верно.