Упр.36.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$z=1+i$$. Какие числа из множества $$\{z,z^2,z^3,\ldots,z^{11},z^{12}\}$$: а) лежат на оси абсцисс; б) правее прямой $$x=9$$; в) лежат левее оси ординат; г) выше прямой $$y=2$$?

Пусть $$z=1+i.$$ Тогда

$$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad \arg z=\frac{\pi}{4},$$

поэтому по формуле Муавра

$$z^n=(\sqrt2)^n\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right).$$

Вычислим нужные степени:

$$\begin{aligned} z^2&=2i,\\ z^3&=-2+2i,\\ z^4&=-4,\\ z^5&=-4-4i,\\ z^6&=-8i,\\ z^7&=8-8i,\\ z^8&=16,\\ z^9&=16+16i,\\ z^{10}&=32i,\\ z^{11}&=-32+32i,\\ z^{12}&=-64. \end{aligned}$$

Теперь выбираем числа по условию:

1. на оси абсцисс лежат числа с нулевой мнимой частью: $$z^4,\ z^8,\ z^{12};$$
2. правее прямой $$x=9$$ лежат числа, у которых $$x>9$$: $$z^8,\ z^9;$$
3. левее оси ординат лежат числа с отрицательной действительной частью: $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^{11},\ z^{12};$$
4. выше прямой $$y=2$$ лежат числа, у которых $$y>2$$: $$z^9,\ z^{10},\ z^{11}.$$

Ответ: а) $$z^4,\ z^8,\ z^{12}$$; б) $$z^8,\ z^9$$; в) $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^{11},\ z^{12}$$; г) $$z^9,\ z^{10},\ z^{11}$$.