Упр.36.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$\{z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots\}$$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $$z=\cos 0{,}01\pi-i\sin 0{,}01\pi$$.
   а) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n$$ принадлежит второй координатной четверти.
   б) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
   в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат?
   г) Найдите сумму этих различных чисел.

Пусть $$z=\cos 0{,}01\pi-i\sin 0{,}01\pi=\cos(-0{,}01\pi)+i\sin(-0{,}01\pi).$$

Тогда аргумент числа $$z^n$$ равен

$$\varphi_n=-0{,}01\pi n=-\frac{\pi}{100}n.$$

а)

Число $$z^n$$ лежит во второй координатной четверти, если

$$\frac{\pi}{2}+2\pi k<\varphi_n<\pi+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Подставим $$\varphi_n=-\frac{\pi}{100}n$$ и возьмём подходящий промежуток:

$$-\frac{3\pi}{2}<-\frac{\pi}{100}n<-\pi.$$

Умножим неравенство на $$-\frac{100}{\pi}$$, меняя знаки неравенств:

$$150>n>100.$$

Наименьшее натуральное значение:

$$n=101.$$

б)

Период прогрессии равен числу шагов, при котором аргумент увеличивается на $$2\pi$$:

$$\frac{2\pi}{\pi/100}=200.$$

Значит, различных чисел в прогрессии $$200$$.

в)

На осях координат лежат числа, у которых аргумент равен $$-\frac{\pi}{2},-\pi,-\frac{3\pi}{2},-2\pi$$.

Решаем уравнения:

$$-\frac{\pi}{100}n=-\frac{\pi}{2}\Rightarrow n=50,$$

$$-\frac{\pi}{100}n=-\pi\Rightarrow n=100,$$

$$-\frac{\pi}{100}n=-\frac{3\pi}{2}\Rightarrow n=150,$$

$$-\frac{\pi}{100}n=-2\pi\Rightarrow n=200.$$

Таких чисел $$4$$.

г)

Все $$200$$ различных чисел образуют вершины правильного многоугольника на комплексной плоскости. Поэтому они разбиваются на пары симметричных относительно начала координат чисел, сумма каждой пары равна $$0$$.

Следовательно, сумма всех различных чисел равна

$$0.$$

Ответ: а) $$101$$; б) $$200$$; в) $$4$$; г) $$0$$.