Упр.36.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Пусть $$\{z, z_2, z_3, \ldots, z_n, z_{n+1}, \ldots\}$$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $$z=\cos 0{,}2\pi+i\sin 0{,}2\pi$$.
а) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z_n$$ принадлежит второй координатной четверти.
б) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z_n$$ принадлежит четвёртой координатной четверти.
в) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z_n=1$$.
г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
Пусть $$z=\cos 0{,}2\pi+i\sin 0{,}2\pi=\cos \frac{\pi}{5}+i\sin \frac{\pi}{5}.$$
Тогда
$$z^n=\cos \frac{n\pi}{5}+i\sin \frac{n\pi}{5}.$$
а)
Число $$z^n$$ лежит во второй четверти, если
$$\frac{\pi}{2}<\frac{n\pi}{5}<\pi.$$
Умножим неравенство на $$\frac{5}{\pi}$$:
$$2{,}5<n<5.$$
Наименьшее натуральное $$n$$: $$n=3.$$
б)
Число $$z^n$$ лежит в четвертой четверти, если
$$\frac{3\pi}{2}<\frac{n\pi}{5}<2\pi.$$
Тогда
$$7{,}5<n<10.$$
Наименьшее натуральное $$n$$: $$n=8.$$
в)
Чтобы $$z^n=1$$, нужно, чтобы
$$\cos \frac{n\pi}{5}=1,\qquad \sin \frac{n\pi}{5}=0.$$
Это возможно при
$$\frac{n\pi}{5}=2\pi k,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$
Наименьшее положительное $$n$$ получается при $$k=1$$:
$$n=10.$$
г)
Так как аргумент при возведении в степень увеличивается на $$\frac{\pi}{5}$$, а полный оборот равен $$2\pi$$, то число различных значений равно
$$\frac{2\pi}{\pi/5}=10.$$
Ответ: а) $$3$$; б) $$8$$; в) $$10$$; г) $$10$$.
