Упр.36.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(1+i\sqrt{3})^7+(1-i\sqrt{3})^7$$; б) $$\frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{3}-i\cos\frac{\pi}{3}\right)^2}{(\sqrt{3}+i)^4}$$; в) $$(\sqrt{3}+i)^5+(\sqrt{3}-i)^5$$; г) $$\frac{32i\left(\sin\frac{\pi}{6}+i\cos\frac{\pi}{6}\right)^2}{(\sqrt{3}-i)^5}$$.

а) Представим числа в тригонометрической форме:

$$1+i\sqrt3=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right),$$

$$1-i\sqrt3=2\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$z=2^7\left(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3}\right)+2^7\left(\cos\frac{7\pi}{3}-i\sin\frac{7\pi}{3}\right).$$

Складываем:

$$z=2^7\cdot 2\cos\frac{7\pi}{3}=128\cdot 2\cos\frac{\pi}{3}=128.$$

б) Имеем

$$\sqrt3+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),$$

$$\sin\frac{\pi}{3}-i\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}=\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$z=\frac{16i\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)^2}{\left(2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right)^4} =\frac{16i\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right)}{16\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)}.$$

После упрощения получаем

$$z=-i.$$

в) Запишем:

$$\sqrt3+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),$$

$$\sqrt3-i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$z=2^5\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+2^5\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right).$$

Следовательно,

$$z=2^5\cdot 2\cos\frac{5\pi}{6}=32\cdot 2\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-32\sqrt3.$$

г) Имеем

$$\sqrt3-i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right),$$

$$\sin\frac{\pi}{6}+i\cos\frac{\pi}{6}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$z=\frac{32i\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^2}{\left(2\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right)^5} =\frac{32i\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)}{32\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right)}.$$

После сокращения получаем

$$z=1.$$

Ответ

а) $$128$$; б) $$-i$$; в) $$-32\sqrt3$$; г) $$1$$.