Упр.36.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(1+\sqrt{3}i)(-3)$$; б) $$(1+\sqrt{3}i)(-5)$$; в) $$(\sqrt{3}+i)(-7)$$; г) $$(\sqrt{3}-i)(-9)$$.

Представим каждое число в тригонометрической форме и воспользуемся формулой

$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

а)

$$z=(1+\sqrt3\,i)^{-3}.$$

Найдём модуль и аргумент числа $$1+\sqrt3\,i$$:

$$|1+\sqrt3\,i|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2,$$

$$\varphi=\arctan\frac{\sqrt3}{1}=\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$1+\sqrt3\,i=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$

Следовательно,

$$z=2^{-3}\left(\cos\left(-3\cdot\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-3\cdot\frac{\pi}{3}\right)\right) =\frac18(\cos(-\pi)+i\sin(-\pi))=-\frac18.$$

б)

$$z=(1+\sqrt3\,i)^{-5}.$$

Используем ту же тригонометрическую форму:

$$z=2^{-5}\left(\cos\left(-5\cdot\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-5\cdot\frac{\pi}{3}\right)\right).$$

Так как

$$\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12,\qquad \sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2},$$

то

$$z=\frac1{32}\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=\frac1{64}(1+\sqrt3\,i).$$

в)

$$z=(\sqrt3+i)^{-7}.$$

Найдём модуль и аргумент числа $$\sqrt3+i$$:

$$|\sqrt3+i|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=2,$$

$$\varphi=\arctan\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\sqrt3+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).$$

Следовательно,

$$z=2^{-7}\left(\cos\left(-7\cdot\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-7\cdot\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

Учитывая, что

$$\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=\frac12,$$

получаем

$$z=\frac1{128}\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=\frac1{256}(-\sqrt3+i).$$

г)

$$z=(\sqrt3-i)^{-9}.$$

Найдём модуль и аргумент числа $$\sqrt3-i$$:

$$|\sqrt3-i|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,$$

$$\varphi=-\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\sqrt3-i=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

Следовательно,

$$z=2^{-9}\left(\cos\left(-9\cdot\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-9\cdot\frac{\pi}{6}\right)\right) =2^{-9}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right).$$

Так как

$$\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1,$$

то

$$z=\frac1{512}i.$$

Ответ

а) $$-\frac18$$; б) $$\frac1{64}(1+\sqrt3\,i)$$; в) $$\frac1{256}(-\sqrt3+i)$$; г) $$\frac1{512}i$$.