Упр.36.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$(1+i)(-4)$$; б) $$(1+i)(-6)$$; в) $$(1-i)(-10)$$; г) $$(1-i)(-20)$$.

Используем тригонометрическую форму комплексного числа $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right).$$ Тогда по формуле Муавра:

1. $$(1+i)^{-4}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)\right)^{-4} =(\sqrt{2})^{-4}\left(\cos \left(-\pi\right)+i\sin \left(-\pi\right)\right).$$

   $$(\sqrt{2})^{-4}=\frac{1}{4}, \qquad \cos(-\pi)=-1,\qquad \sin(-\pi)=0.$$

   Следовательно, $$(1+i)^{-4}=-\frac{1}{4}.$$

2. $$(1+i)^{-6}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)\right)^{-6} =(\sqrt{2})^{-6}\left(\cos \left(-\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right).$$

   $$(\sqrt{2})^{-6}=\frac{1}{8}, \qquad \cos \left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1.$$

   Значит, $$(1+i)^{-6}=\frac{1}{8}i.$$

3. $$(1-i)^{-10}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}-i\sin \frac{\pi}{4}\right)\right)^{-10} =(\sqrt{2})^{-10}\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{2}\right)-i\sin \left(-\frac{5\pi}{2}\right)\right).$$

   $$(\sqrt{2})^{-10}=\frac{1}{32}, \qquad \cos \left(-\frac{5\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin \left(-\frac{5\pi}{2}\right)=-1.$$

   Следовательно, $$(1-i)^{-10}=\frac{1}{32}i.$$

4. $$(1-i)^{-20}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}-i\sin \frac{\pi}{4}\right)\right)^{-20} =(\sqrt{2})^{-20}\left(\cos (-5\pi)-i\sin (-5\pi)\right).$$

   $$(\sqrt{2})^{-20}=\frac{1}{1024}, \qquad \cos(-5\pi)=-1,\qquad \sin(-5\pi)=0.$$

   Значит, $$(1-i)^{-20}=-\frac{1}{1024}.$$

Ответ: а) $$-\frac{1}{4}$$; б) $$\frac{1}{8}i$$; в) $$\frac{1}{32}i$$; г) $$-\frac{1}{1024}$$.